fiz kwantowa zad, Kompendium wiedzy z fizyki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Podstawy fizyki kwantowej.
Zadania z rozwiązaniami
.
Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne
1
Progowa długość fali dla wybicia fotoelektronów z metalicznego sodu wynosi
5
45
×
10
-
m
a. wyznacz maksymalną prędkość elektronów wybijanych przez światło o długości fali
m
×
10
-
b. jakie jest napięcie hamujące dla fotoelektronów wybijanych z sodu przez światło o długości
fali
m
2
×
10
-
.
Rozwiązanie
Znając progową długość fali na wybicie elektronu możemy obliczyć, jaka jest praca wyjścia
(praca potrzebna do wybicia elektronu z powierzchni metalu)
dla sodu. Pomiędzy długością fali światła a
energią fotonu jest związek:
E
=
h
n
gdzie
n
=
1
. Długość fali to inaczej odległość, jaką pokonuje fala w czasie jednego okresu,
T
c
więc dla światła
cT
l
=
. Uwzględniając powyższe
n
=
l
E
=
hc
l
W
=
hc
w
l
gr
l
- graniczna długość fali
Jeśli cała energia padającego fotonu zostanie zużyta na wybicie elektronu to elektron będzie
miał energię
w
E
= n
h
-
W
E
=
hc
-
hc
l
l
gr
Oczywiście E jest energią kinetyczną elektronu, więc można napisać
m
u
2
æ
1
1
ö
ç
è
÷
ø
e
=
hc
-
2
l
l
gr
2
W
- praca wyj
ścia,
gr
u
2
=
2
hc
ç
è
1
-
1
÷
ø
m
l
l
e
gr
u
=
2
hc
ç
è
1
-
1
÷
ø
m
l
l
e
gr
u
=
2
hc
ç
è
l
gr
-
1
÷
ø
m
ll
e
gr
Obliczenie napięcia hamującego też nie jest problemem. Wystarczy energię elektronu w
dżulach podzielić przez ładunek elektronu. Po podstawieniu
u
=
1
18
×
10
6
m
s
E
=
6
,
29
×
10
-
19
J
U
=
3
.
93
V
Fale materii
2
Ile wynosi długość fali przypisana elektronowi o energii 100 eV.
Rozwiązanie
Długość fali cząstki materialnej poruszającej się z prędkością v jest opisana wzorem:
l
m
=
h
u
gdzie h oznacza stałą Plancka
(tzw. kwant działania)
; m masa cząstki. Energia kinetyczna
elektronu to
m
u
2
E
=
e
2
więc
u
=
2
E
m
e
po podstawieniu do zależności na
l
l
=
h
2
Em
e
.
Po podstawieniu wartości liczbowych dostajemy wynik
m
eV
=
100
×
1
602
×
10
19
l
=
1
23
×
10
-
10
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
Energia wstawiana do powyższego wzoru musi być w J, należy więc dokonać zamiany
J
100
3
Model planetarny atomu według Bohra
Załóż, że model planetarny opisuje ruch elektronu w atomie wodoru. Jeśli promień orbity
elektronu wynosi
5
×
10
-
11
m
oblicz:
a. częstość kołową elektronu,
b. prędkość liniową elektronu,
c. energię kinetyczną elektronu w eV. Jaka jest minimalna energia potrzebna do zjonizowania
atomu?
Rozwiązanie
Oczywiście trzeba pamiętać, że model Bohra jest błędny i nie oparty na żadnych konkretnych
przesłankach fizycznych. W zadaniu zakłada się jednak, że atom wodoru jest zbudowany tak
jak to opisał Bohr.
Wtedy rozważamy ruch elektronu wokół masywnego jądra*. Pomiędzy
elektronem a protonem występuje kulombowskie oddziaływanie
przyciągające
*Przyjmujemy, i nie jest to
wielkim błędem, że środek
masy układu jądro elektron
znajduje się jądrze. Elektron
ma masę
e
2
F
=
2
m
=
9
109
×
10
-
31
kg
.
4
pe
r
e
0
Natomiast proton
(stanowiący jądro atomu
wodoru)
Jest to jednocześnie siła dośrodkowa w ruchu po okręgu. Jak
pamiętamy z lekcji fizyki siła dośrodkowa wyraża się wzorem
m
=
1
676
×
10
-
27
kg
.
p
d
u
2
Jak widać jest to różnica
czterech rzędów wielkości.
F
=
m
r
gdzie v prędkość liniowa ciała poruszającego się po okręgu; r promień okręgu; m masa ciała;
W tym zadaniu siła dośrodkowa wygląda następująco:
F
u
2
d
m
r
=
e
i jest równa sile oddziaływania elektrostatycznego, więc:
u
2
e
2
m
=
r
e
4
pe
r
2
0
i dostajemy prędkość liniową
e
pe
2
u =
4
rm
0
e
Częstość kołową uzyskamy łatwo, gdy zauważymy, że:
u =
2
p
r
T
u
=
T
2
p
=
w
r
więc
1
e
2
w =
r
4
pe
rm
0
e
Obliczenie energii kinetycznej też nie stanowi problemu.
u
2
m
e
2
e
=
2
8
pe
r
0
e
2
E
=
8
pe
r
0
Aby obliczyć energię jonizacji trzeba znać całkowitą energię
elektronu, czyli nie tylko energię kinetyczną, ale i potencjalną. Suma
tych energii daje energię całkowitą i dla stanów związanych* jest
zawsze ujemna.
Energia potencjalna układu proton { elektron wyraża się wzorem
*Elektron i jądro w atomie
tworzą stan związany,
podobnie w stanie
związanym są Ziemia i
Księżyc czy Ziemia i stacja
orbitalna. Gdy ludzie
wysyłają sondy kosmiczne
poza układ słoneczny to
nadają im taką energię,
aby nie tworzyły stanów
związanych z innymi
planetami.
e
2
E
=
-
4
pe
r
0
Energia całkowita wyrazi się sumą
E
=
E
+
E
=
E
c
p
k
jonizacji
e
2
e
2
E
=
-
+
jonizacji
4
pe
r
8
pe
r
0
0
co po sprowadzeniu do wspólnego mianownika daje
e
2
E
=
-
jonizacji
8
pe
r
0
Ostatecznie po podstawieniu otrzymujemy wyniki:
w
=
4
12
×
10
16
s
-
1
m
u
=
2185993
s
E
k
=
13
.
eV
E
jonizacji
=
-
13
.
eV
Widmo wodoru
Znajdź długość fali w metrach dla pierwszych trzech linii serii Lymana dla
wodoru. W jakim obszarze widma leżą te linie.
4
Rozwiązanie
Seria Lymana obejmuje przejścia z powłok wyższych na powłokę pierwszą, czyli gdy n = 1,
m = 2, 3, 4,… Długość fali można obliczyć ze wzoru Balmera-Rydberga
1
l
=
R
è
1
-
1
ø
n
2
m
2
oznacza stałą Rydberga.
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy
R
=
10973731
.
534
m
-
1
l
2
®
1
=
121
.
nm
l
3
®
1
=
102
.
nm
l
4
®
1
=
97
.
nm
Przejście elektronowe
Elektron w atomie wodoru przechodzi ze stanu n = 5 do stanu podstawowego n = 1. Znajdź
energię i pęd emitowanego fotonu.
5
Rozwiązanie
Wykorzystując wzór z poprzedniego zadania dostajemy
1
l
=
R
è
1
-
1
ø
n
2
m
2
1
m
2
-
n
2
=
R
l
n
2
m
2
Wzór na energię jest już znany
hc
E
=
h
n
=
l
więc wykorzystując wzór Rydberga
m
2
-
n
2
E
=
hcR
n
2
m
2
Pęd obliczymy ze wzoru
=
Foton nie ma masy spoczynkowej (m
0
= 0), więc jeden człon wyrażenia znika i zostaje tylko
2
E
2
m
2
0
c
4
+
p
2
c
2
E
=
w ten sposób po przekształceniu otrzymujemy wyrażenie na pęd fotonu
2
p
2
c
æ
ö
gdzie
æ
ö
[ Pobierz całość w formacie PDF ]