filtr3b,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wrocław 15.11.2006
Politechnika Wrocławska, Wydział Elektroniki
Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki
Zakład Teorii Obwodów
dr inż. Zbigniew Świętach
Laboratorium Filtrów Analogowych i Cyfrowych
Ćwiczenie nr 2 - Filtr Odwrotny Czebyszewa
Informacje podstawowe
Podstawowe pojęcia z tematu filtry analogowe oraz przyjęty system oznaczeń zawarte są w
materiałach do ćwiczenia nr 1 – Filtr Butterwortha.
Filtr Odwrotny Czebyszewa
W przypadku, gdy rezystancje generatora i obciążenia są równe
RR
g
= , wówczas charakterystyka
0
amplitudowa filtru odwrotnego Czebyszewa ma postać:
H( )
ω=
+τ ω ω
,
1
(1.1)
2
2
n
1/ T( / )
s
gdzie
ω pulsacja normalizująca, równa pulsacji granicznej pasma zaporowego
n stopień filtru, równy stopniowi transmitancji filtru
τ dodatnia stała, ustalana w trakcie projektowania filtru
T
n
(x) wielomian Czebyszewa stopnia „n” zmiennej niezależnej „x”.
Podstawowe własności wielomianów Czebyszewa:
T (x) 2x T (x) T (x) , T (x) x , T (x) 1 , n 2,3,...
−
n
=⋅ −
n 1
n 2
−
1
= = =
0
T(x)
=
⋅
cos(n arc cos(x)) , x 1
≤
.
(1.2)
n
cosh(n ar cosh(x)) , x 1
⋅
>
Jeżeli ω→∞, wówczas
Tcs ( n)
→
2
0.5
π i dla n–parzystego zachodzi równość
n
∞≠ , nie można zrealizować w układzie drabinkowym,
zbudowanym wyłącznie z elementów L i C (dalej zwanym „drabinką LC”). Z drugiej strony, w
zastosowaniach technicznych, gdy zachodzi konieczność budowy filtru LC, to prawie zawsze
używana jest struktura drabinki LC. Wobec powyższego dalej omawiany jest tylko filtr odwrotny
Czebyszewa
nieparzystego stopnia
„n”.
Wielomiany charakterystyczne filtru odwrotnego Czebyszewa nieparzystego stopnia dane są niżej:
n
2
F(s) (s / )
=ω ,
(1.3)
s
n
(n 1)/2
−
1
P(s)
=
∏
( )
ω +ω ω =
2
2
,
, k 1, 2,..., (n 1) / 2
=
−
, (1.4)
τ
s
ok
ok
π−
(2k 1)
cos
k1
2n
2
H( ) 1/ 1
∞= +τ. Filtru, dla którego H( ) 0
s /
=
∏
(
)
−
1
E(s)
= ω −
(s / ) s , s
=
, k 1, 2,..., n
=
, (1.5)
s
k
k
π−
(2k 1)
π−
(2k 1)
2
k1
=
dsin
⋅
+ + ⋅
j d 1cos
2n
2n
( )
τ= − =
⋅
, A
s
– tłumienie graniczne pasma zaporowego.
Istnieją również wzory służące obliczaniu współczynników powyższych wielomianów lecz ze
względu na swoją złożoną postać, nie znalazły one w praktyce żadnego zastosowania.
Przy projektowaniu, w miejsce zmiennej „s” stosuje się znormalizowaną zmienną
10
0.1A
s
1 , d sinh
n
ar sinh( )
us=ω .
Niestety nie istnieją wzory obliczeniowe pozwalające wyznaczyć wartości elementów filtru. Do
realizacji filtru stosuje się algorytm zwany metodą przesuwania zer (ang. zero shifting). Ze
względów praktycznych najczęściej realizuje się filtr o strukturze tzw. drabinki mid-shunt,
pokazanej na rys. 1.
s
t
2
t
5
t
n-2
1 Ω
t
1
t
3
t
4
t
6
t
n-1
t
n
E
g
1 Ω
Rys. 1. Realizacja filtru odwrotnego Czebyszewa o strukturze drabinki mid-shunt, n – nieparzyste.
Należy wspomnieć o dodatkowym ograniczeniu w realizacji takiego filtru. Nie dla każdego zbioru
danych projektowych można zrealizować drabinkę LC o strukturze z rys. 1. Warunki
realizowalności drabinki mid-shunt (tzw. warunki Fujisawy) dla filtru odwrotnego Czebyszewa
nieparzystego stopnia, mają następującą postać:
π
2
π
A
=
20 log cosh n ar sinh cos
⋅
⋅ −
1 4 sin
,
smin
10
2n
2n
n 5 7 9 11
A [dB] 24.01 41.93 58.57 74.69
,
gdzie A
smin
minimalne wymagane tłumienie w paśmie zaporowym, n stopień filtru. Stosowane w
praktyce tłumienia A
s
są większe niż A
smin
, zatem warunki Fujisawy są wówczas spełnione.
Po obliczeniu znormalizowanych wartości elementów filtru metodą przesuwania zer należy
zdenormalizować otrzymane wartości, korzystając z poniższych wzorów:
smin
R R
== = =
ω
R , C
t
k
, L
t R
k
.
(1.6)
g
0
k
R
k
ω
c
c
Metoda przesuwania zer zostanie omówiona dalej podczas realizacji filtru.
Przykładowe charakterystyki filtru odwrotnego Czebyszewa stopnia n=7 pokazano na rys. 2a i 2b.
Przykład realizacji filtru
1 Dane projektowe (gabaryty):
A 1 dB , A 60 dB , f 1 kHz , f 2 kHz , R R
p
=
s
=
p
=
s
=
= = = Ω .
g
R 100
0
n
gdzie
H (f) [dB]
dB
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
0
-10
(1 kHz, -1 dB)
-20
-30
-40
(1.78 kHz, -60 dB)
-50
-60
-70
-80
-90
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
f [kHz]
Rys. 2a. Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa filtru odwrotnego Czebyszewa stopnia n=7,
gdzie
A 1 dB , A 60 dB , f 1 kHz , f 1.78 kHz
p
=
s
=
p
=
s
=
.
Oznaczenia:
f
p
częstotliwość graniczna pasma przepustowego
A
p
tłumienie graniczne pasma przepustowego
f
s
częstotliwość graniczna pasma zaporowego
A
s
tłumienie graniczne pasma zaporowego
φ
(f) [deg]
Charakterystyka fazowa
0
-50
(1 kHz, -247 deg)
-100
-150
-200
-250
-300
-350
(1.78 kHz, -454 deg)
-400
-450
-500
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
f [kHz]
Rys. 2b. Charakterystyka fazowa filtru odwrotnego Czebyszewa stopnia n=7, gdzie
A 1 dB , A 60 dB , f 1 kHz , f 1.78 kHz
p
=
s
=
p
=
s
=
.
2 Wyznaczanie stopnia:
ar cosh (10
0.1A
s
−
1) /(10
0.1A
p
−
1)
n
≥
,
(1.7)
ar cosh(f / f )
s
p
n 6.2846 przyjęto n 7 .
≥
=
3 Poprawianie gabarytów:
Jeżeli w wyrażeniu
ustalimy n=7 i znak nierówności zastąpimy równością, wówczas równanie
spełnione jest dla innych, poprawionych w stosunku do oryginalnych gabarytów. Zazwyczaj
ustala się dowolną trójkę danych projektowych filtru i poszukuje się poprawionego, czwartego
gabarytu. W niniejszym przykładzie poprawiona zostanie częstotliwość f
s
:
f f cosh ar cosh (10
=
1
n
0.1A
s
−
1) /(10
0.1A
p
−
1)
,
(1.8)
s
p
s
f 1.78 kH= .
W dalszych obliczeniach należy
zawsze s
tosować poprawione gabaryty filtru.
4 Wyznaczenie pierwiastków wielomianu E(u),
us=ω, ze wzorów
:
s
s -0.1093 j 0.6019 , s -0.1093 - j 0.6019 ,
s -0.3507 j 0.5529 , s -0.3507 - j 0.5529 ,
s -0.6190 j 0.3748 , s -0.6190 - j 0.3748 ,
s -0.7621 oraz 1000 , d 1.3122
.
1
=
+ ⋅
2
=
⋅
3
=
+ ⋅
4
=
⋅
5
=
+ ⋅
6
=
⋅
= τ = =
Na podstawie wyznaczonych pierwiastków obliczono wielomian E(u), postaci:
7
7
=+ + + + + + + .
5 Wyznaczenie zer transmisji filtru oraz wielomianu P(u) ze wzorów
:
6
5
4
3
2
ω=
1.0257 ,
ω=
1.2790 ,
ω=
2.3048 oraz
n
= ,
0.0070
01
02
03
τ
= + + + .
Fizyczne częstotliwości odpowiadające zerom transmisji filtru można wyznaczyć przy pomocy
zależności
P(u) 0.00700u 0.05600u 0.11200u 0.06400
6
4
2
f
0k
=⋅ω =
f
s
0k
, k 1, 2, 3 , gdzie f 1.78 kHz
s
= ,
= = = .
6 Obliczenie elementów filtru o strukturze drabinki mid-shunt, metodą przesuwania zer.
Impedancja z(u) b(u) / a(u)= (1.9)
jest znormalizowaną przez ω
c
oraz R impedancją wejściową filtru obciążonego na wyjściu
jednostkową rezystancją. Wielomiany b(u) i a(u) są wielomianami odpowiednio licznika i
mianownika impedancji z(u), przy czym a(u) jest wielomianem monicznym (współczynnik przy
najwyższej potędze wynosi jeden). Wykorzystując zależności podane w materiałach do ćwiczenia
nr 1 oraz wzory
i
ustala się następujące związki:
( )
f
01
1.83 kHz , f
02
2.28 kHz , f
03
4.11 kHz
a(u) 0.5 E(u) u , b(u) 0.5 E(u) u
=
+
n
=
( )
− ,
n
(1.10)
zatem
= + + + + + +
=+ + + + + + +
Pierwszy etap w metodzie przesuwania zer, polega na wydzieleniu z admitancji
y(u) 1/ z(u= pojemności t
1
tak, aby pozostała admitancja
6
5
4
3
2
7
6
5
4
3
2
=−⋅ była równa zeru w
jednym z zer transmisji filtru, przy czym prawidłowo wybrane zero transmisji ma tę własność, że
pojemność t
1
jest wówczas dodatnia i mniejsza niż w pozostałych zerach transmisji. Omówiony
etap realizacji filtru nosi nazwę „kroku (przesunięcia) zerowego”. W przykładzie obliczeniowym
wygląda to następująco:
y(u) y(u) u t
1
1
E(u) u 2.91988u 4.26282u 4.01677u 2.64226u 1.22471u 0.37739u 0.06400
zatem
czyli
b(u) 1.45994u 2.13141u 2.00838u 1.32113u 0.61235u 0.18870u 0.03200,
a(u) u 1.45994u 2.13141u 2.00838u 1.32113u 0.61235u 0.18870u 0.03200.
a(u)
0.07335 dla
ω=
01
1.0257
=
0.32544 dla
ω =
1.2790 , zatem t 0.07335 .
=
⋅
ub(u)
02
1
uj
=⋅ω
0.58397 dla
ω=
2.3048
Generalnie wartości liczbowe otrzymywane z powyższego wzoru mogą być także ujemne lub
nieograniczone, jednak tego typu wyniki odrzucamy przy wybieraniu pojemności t
1
.
Teraz admitancja
0k
03
y(u) y(u) u t
=−⋅ jest równa zero w zerze transmisji ω
01
, zatem impedancja
1
z(u) 1/y(u= ma w tym punkcie biegun, który realizuje się przez wydzielenie odpowiedniego
ułamka prostego z impedancji z
1
(u). Omówiony etap syntezy filtru nosi nazwę „kroku realizacji”
(tutaj realizacji równoległego obwodu LC). W przykładowym filtrze etap ten wygląda następująco:
1
z (u)
=
1
=
b(u)
=
b(u)
=
u/t
2
+
b (u)
2
, gdzie t
=
⋅ω
,
1
y(u) u t a(u) u t b(u) (u
−⋅ −⋅⋅
2
+ω ⋅
2
) a (u) u
2
+ω
2
a (u)
3
t
2
1
1
01
2
01
2
2
01
oraz
b (u) 0.63548u 0.92774u 0.67554u 0.28474u 0.06083 , t 0.78175 ,
a (u) 1.78582u 2.60720u 2.08933u 1.07994u 0.35425u 0.06083 , t 1.21584 .
=
4
+
3
+
2
+
+
=
2
2
=
5
+
4
+
3
+
2
+
+
=
2
3
z (u) b (u) / a (u= jest o dwa
niższy niż stopień impedancji z(u). Do realizacji impedancji z
2
(u) stosujemy ponownie w/w dwa
etapy syntezy, przy czym zero transmisji ω
01
(zrealizowane) nie będzie brane pod uwagę w
następnych etapach syntezy. Realizacja filtru zakończy się w momencie otrzymania impedancji
stopnia zerowego, czyli funkcji stałej (tutaj stałej równej jeden, a w praktyce biorąc pod uwagę
błędy obliczeniowe – w przybliżeniu jeden). W rozpatrywanym przykładzie obliczeniowym, po
przeprowadzeniu jeszcze dwóch analogicznych jak poprzednie kroków syntezy, otrzymuje się
następujące znormalizowane wartości elementów filtru:
2
2
2
t 0.07335 , t 0.78175 , t 1.21584 , t 2.61355 , t 0.21198 ,
t 2.88362 , t 2.62592 , t 0.10474 , t 1.79732 , t
=
2
=
3
=
4
=
5
=
6
=
7
=
8
=
9
=
10
=
0.58397 .
Wartości rzeczywiste elementów filtru wynoszą:
= = = = µ =
= = µ = = =
Wartości pojemności zaokrąglono do 0.01 µF, a wartości indukcyjności zaokrąglono do 0.1 mH.
7 Charakterystyki częstotliwościowe zaprojektowanego filtru zamieszczone na rys. 2a, 2b, zostały
obliczone w Matlabie ver. 5.3 przy wykorzystaniu wielomianów P(u) i E(u).
8 Ostatnim etapem projektu jest wyznaczenie wielomianów P(u) i E(u) poprzez analizę układową
zaprojektowanego filtru (np. metodą potencjałów węzłowych) i ponowne wykreślenie
charakterystyk częstotliwościowych w celu sprawdzenia poprawności projektu, z uwzględnieniem
zastosowanych zaokrągleń. Analiza układu drabinkowego o strukturze danej na rys. 1 jest
stosunkowo prosta. Niech węzeł z potencjałem E
g
ma numer „0”, pozostałe węzły numerujemy
kolejno 1,2,...,m, przy czym:
C 70 nF , C 700 nF , L 10.8 mH , C 2.33 F , C 190 nF ,
L 25.7 mH , C 2.34 F , C 90 nF , L 16.0 mH , C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
520 nF.
=+ .
Liczba elementów drabinki mid-shunt wynosi:
( )
m(n )/2
∆= − .
Wykorzystując zależności
otrzymuje się równanie:
n
3n 1 / 2
E(u) 2a(u) u
= − .
(1.11)
z(u) b(u)/a(u= , k=m, m-1, m-2,..., 1
będzie znormalizowaną impedancją wejściową mierzoną pomiędzy „k” – tym węzłem, a masą,
filtru obciążonego na wyjściu jednostkową rezystancją, przy czym kondensator, włączony
pomiędzy „k” – tym węzłem, a masę jest częścią impedancji z
k
. Oczywiście z(u)=z
1
(u) oraz
b(u)=b
1
(u), a(u)=a
1
(u), patrz wzór
Jeżeli znana jest impedancja z
k+1
, w prosty sposób można
wyznaczyć impedancję z
k
:
k
k
k
1
1
1
Po wydzieleniu pojemności t
2
i indukcyjności t
3
stopień impedancji
1
Niech
[ Pobierz całość w formacie PDF ]