fazory 2, dr Masajada
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Jan Masajada
– Materiały z wykładu z fizyki ogólnej
Wersja 27.02.2012
Fale
1
Jan Masajada
– Materiały z wykładu z fizyki ogólnej
1. Fazory – reprezentacja zespolona
To co teraz zrobię może się wydać niepotrzebną ekstrawagancją. To nie będzie
jednak ekstrawagancja. Jak się szybko okaże przedstawiona tu metoda opisu
drgań harmonicznych jest wysoce użyteczna. Zacznę od krótkiego
wprowadzenia do liczb zespolonych.
PRZERYWNIK MATEMATYCZNY #1.
Liczby zespolone wprowadzamy poprzez zdefiniowanie tzw. jednostki
urojonej, cyli pierwiatka licby minu jeden Jednotk urojoną
oznaczamy zwykle przez
i
.
p.1.1
Bydmożeucyłeiwkole,żepierwiatekkwadratowyliczb ujemnych
nieitniejelejettotakdługoprawdą, jakdługoogranicamyidolicb
recywitychJeżeli dopucimy dogłoulicbyurojoneto pierwiatki
z licbujemnychbdąjaknajbardiejoblicalneItaknaprykład
p.1.2
Ogólniepierwiateklicbyujemnejbdiemożnawyraidjakopierwiatek
z jejwartocibewgldnejpremnożonyprejednotkurojoną
i
.
p.1.3
Licbepoloną
z
deiniujemyjakolicbłożonądwóchcci
ccirecywitej
a
icciurojonej
b
Zapiujemyjątak
p.1.4
UżytytunakpluniejetwykłymdodawaniemJetprytnympoobem
naapilicbyepolonej,któryułatwiapotemwykonywanianatych
licbach operacji matematycnych Równie dobre moglibymy apiad
licb epoloną jako par
a
,
ib
Licby epolone możemy również
repreentowad graicnie na tw płacynie rganda, tak jak to
przedstawia rysunek p.1
2
Jan Masajada
– Materiały z wykładu z fizyki ogólnej
Rysunek p.1.1. Każdąliczbęzespolonąmożemyprzedstaićnapłaszczyźnie
gdzienaosipionoejodkładamyliczbyurojoneanaosipoziomejliczby
rzeczywiste. Płaszczyznętakąnazyamypłaszczyznąrganda
Z rysunku p.1.1. widad,żekażdalicbaepolonamożebyd zapisana
w postaci trygonometrycznej
cos
sin
p.1.5
KorytająctożamociudowodnionejpreEulera
cos
sin
p.1.5
Licbepolonąmożemyapiadwpotaci
p.1.7
Funkcj epoloną
p.1.8
możemyinterpretowadjakooperatorłużącydoobracaniawektorówna
płacynierganda, tak jak to pokazuje rysunek p.1.2.
3
Jan Masajada
– Materiały z wykładu z fizyki ogólnej
Rysunek p.1.2. aPrzemnożenieliczbyiprzezliczbęe
2i
oznaczaobrót
ektoraospółrzędnychokątradianóbmnożymytąsamąliczbę
zespolonąprzeze
iπ/2
którejestrónoażneobrotoiokątprostyπ/2.
Do ccia bdiemy jece potrebowali woru na dodawanie
(odejmowanie) liczb zespolonych
p.1.9
i wzoru na mnożenielicbepolonych w postaci
a
+
ib
iwykładnicej
p.1.10a
p.1.10b
Zdeiniujemytakżeoperacjbranialicbyprżonej do liczby zespolonej
z
.
Licbaprżonajetlicbąwktórejwytkie
i
mieniłynak
p.1.11a
p.1.11b
Oraz operacjbraniaccirecywitejiurojonejlicbyepolonej
e
p.1.12a
p.1.12b
m
I operacjoblicaniamodułulicbyepolonej
z
,cylimnożenialicby
epolonejprelicbdoniejprżonąiwyciąganietakuykanejlicby
pierwiastka.
4
Jan Masajada
– Materiały z wykładu z fizyki ogólnej
p.1.13a
p.1.13b
Jakwidadmodułlicbyepolonej
z
=
a
+
ib
jetrównydługociwektora
o wpółrdnych(
a
;
b
). Wcególnociawemamy
e
e
e
p.1.14
Zwróduwag,żejeżelipre
t
onacymycatowyrażeniee
i
t
możebyd
interpretowane jako ruch jednostkowego wektora wtakipoób,żekoniec
tego wektora biegnie pookrgu o promieniu 1.
Uwaga
opoornejtucnocilicbepolonych
KONIEC PRZERYWNIKA #1
Wrócę do opisu ruchu harmonicznego. Powiedzmy, że mamy wirujący
wektor o długość
D
, zahaczony w początku układy współrzędnych. Niech
wektor ten wiruje z częstością . Jego ruch możemy opisać we współrzędnych
w następujący sposób
cos
cos
cos
sin
sin
sin
sin
cos
cos
sin
3.2.1
Z drugiej strony w notacji zespolonej ruch takiego wirującego wektora możemy
opisać wzorem
e
cos
sin
3.2.2
To już w zasadzie wiemy, z krótkiego wprowadzenia do liczb zespolonych. Taki
wirujący wektor opisany wyrażeniem (3.2.2) nazywamy fazorem. Kąt
nachylenia tego wektora do osi rzeczywistej nazywamy kątem fazowym fazora.
Biorąc tylko część rzeczywistą lub urojoną powyższego wyrażenia dostajemy
wyrażenie opisujące ruch harmoniczny.
e
cos
3.2.3a
3.2.3b
m
sin
Jak widać, z tego długość fazora możemy utożsamiać z amplitudą drgań
opisanych wyrażeniami (3.2.3). Stąd zamiast mówić długość fazora będę czasem
mówił amplituda fazora.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]