geometria na p, algebra
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WYBRANE ZAGADNIENIA
Z GEOMETRII PªASZCZYZNY
DANUTA ZAREMBA
WST¦P
PUBLIKACJA TA POWSTAªA Z MY±L¡ O STUDENTACH, KTÓRZY CHC¡ ZDOBY¢ UPRAW-
NIENIA DO NAUCZANIA MATEMATYKI W SZKOLE. ZAWIERA ONA NIECO PODSTAWOWYCH
WIADOMO±CI Z GEOMETRII PªASZCZYZNY I TROCH¦ ZADA« Z NIMI ZWI¡ZANYCH. JEST
TO OCZYWI±CIE GEOMETRIA EUKLIDESOWA. CZYTELNIK MO»E OD±WIE»Y¢ SWOJ¡ SZKOL-
N¡ WIEDZ¦, BY¢ MO»E POSZERZY¢ J¡, A NA PEWNE ZAGADNIENIA SPOJRZE¢ NIECO
INACZEJ, CZ¦STO Gª¦BIEJ. MA TE» OKAZJ¦ DO PO¢WICZENIA UMIEJ¦TNO±CI ROZWI¡-
ZYWANIA ZADA«. DO NIEKTÓRYCH ZADA«, OZNACZONYCH SYMBOLEM *, PODANE S¡
PODPOWIEDZI, A NIEKIEDY NAWET ROZWI¡ZANIA (ROZDZIAª 11).
NIE JEST TO »ADEN SYSTEMATYCZNY WYKªAD GEOMETRII, WIELE TEMATÓW ZOSTAªO
POMINI¦TYCH { NA PRZYKªAD NIE MA W OGÓLE TRYGONOMETRII. ZAKRES MATERIAªU
ZOSTAª Z GRUBSZA DOSTOSOWANY DO PROGRAMÓW GIMNAZJALNYCH.
GWOLI ±CISªO±CI DODAM, »E W PODAWANYCH TWIERDZENIACH KWANTYKATOR OGÓLNY
(ŸDLA KA»DEGO") WYST¦PUJE CZ¦STO W SPOSÓB NIEJAWNY { JEST W DOMY±LE. JEST TO
ZGODNE Z TRADYCJ¡. NA PRZYKªAD MÓWI¡C, »E K¡T WPISANY OPARTY NA PÓªOKR¦GU
JEST PROSTY, MAMY NA MY±LI DOWOLNY K¡T WPISANY OPARTY NA PÓªOKR¦GU.
2
SPIS TRE±CI
1 IZOMETRIA, JEDNOKªADNO±¢, PODOBIE«STWO
5
1.1 PRZESUNI¦CIA, OBROTY, SYMETRIE OSIOWE . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 IZOMETRIE WªASNE GURY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 JEDNOKªADNO±¢ I PODOBIE«STWO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 ZADANIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 PODSTAWOWE WªASNO±CI TRÓJK¡TA
11
2.1 K¡TY I BOKI TRÓJK¡TÓW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 SYMETRALNE, DWUSIECZNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 WYSOKO±CI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 RODKOWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 ZADANIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 TWIERDZENIE PITAGORASA
18
3.1 TWIERDZENIE PITAGORASA I ODWROTNE . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 UOGÓLNIENIE NA WIELOK¡TY PODOBNE . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 EKIERKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 ZADANIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 TWIERDZENIE TALESA
23
4.1 TWIERDZENIE TALESA I ODWROTNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 RÓWNOWA»NO±¢ KILKU PROPORCJI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 CECHY PODOBIE«STWA TRÓJK¡TÓW . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 ZADANIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3
5 OKR¡G I KOªO
29
5.1 K¡TY WPISANE I ±RODKOWE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 STYCZNA DO OKR¦GU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 ZADANIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 WIELOK¡TY WPISANE W OKR¡G
34
6.1 RODEK OKR¦GU OPISANEGO NA DANYM WIELOK¡CIE . . . . . . . . . 34
6.2 CZWOROK¡TY WPISANE W OKR¡G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3 ZADANIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7 WIELOK¡TY OPISANE NA OKR¦GACH
39
7.1 RODEK OKR¦GU WPISANEGO W DANY WIELOK¡T . . . . . . . . . . . 39
7.2 CZWOROK¡TY OPISANE NA OKR¦GACH . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.3 ZADANIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8 KONSTRUKCJE
43
8.1 KONSTRUKCJE WYKONALNE I NIEWYKONALNE . . . . . . . . . . . . . 43
8.2 ZADANIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9 OBWÓD I POLE
45
9.1 DªUGO±¢ KRZYWEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.2 POLE GURY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
9.3 WZÓR HERONA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.4 ZADANIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10 ZADANIA RÓ»NE
50
11 PODPOWIEDZI DO NIEKTÓRYCH ZADA«
52
4
1 IZOMETRIA, JEDNOKªADNO±¢, PODOBIE«STWO
WSZYSTKIE PRZEKSZTAªCENIA, O KTÓRYCH MOWA W TYM ROZDZIALE, S¡ PRZEKSZªCE-
NIAMI PODZBIORÓW PªASZCZYZNY NA PODZBIORY PªASZCZYZNY.
1.1 PRZESUNI¦CIA, OBROTY, SYMETRIE OSIOWE
WEDªUG ZNANEJ DENICJI
PRZEKSZTAªCENIE NAZYWAMY IZOMETRI¡, JE»ELI ZACHOWUJE ODLEGªO±¢, TZN. ODLE-
GªO±¢ MI¦DZY OBRAZAMI DWÓCH DOWOLNYCH PUNKTÓW JEST RÓWNA ODLEGªO±CI MI¦-
DZY TYMI PUNKTAMI.
Z DENICJI TEJ WYNIKA OD RAZU, »E:
- IDENTYCZNO±¢ JEST IZOMETRI¡,
- IZOMETRIA JEST RÓ»NOWARTO±CIOWA, A PRZEKSZTAªCENIE ODWROTNE JEST TE» IZOME-
TRI¡,
- ZªO»ENIE IZOMERII JEST IZOMETRI¡.
JAK WIADOMO
DWIE GURY NAZYWAMY PRZYSTAJ¡CYMI, JE»ELI ISTNIEJE IZOMETRIA PRZEKSZTAªCAJ¡-
CA JEDN¡ NA DRUG¡.
Z WªASNO±CI IZOMETRII WYNIKA, »E PRZYSTAWANIE GUR JEST RELACJ¡ TYPU RÓWNO-
WA»NO±CI, TZN. ZWROTN¡, SYMETRYCZN¡ I PRZECHODNI¡.
MO»NA UDOWODNI¢, »E
DWA WIELOK¡TY S¡ PRZYSTAJ¡CE WTEDY I TYLKO WTEDY, KIEDY KOLEJNE K¡TY JEDNEGO
WIELOK¡TA S¡ RÓWNE KOLEJNYM K¡TOM DRUGIEGO, A BOKI POªO»ONE MI¦DZY TAKIMI
SAMYMI K¡TAMI W JEDNYM I DRUGIM WIELOK¡CIE S¡ RÓWNE.
ZAUWA»MY, »E NIE WYSTARCZY ZA»¡DA¢, ABY W JEDNYM I W DRUGIM WIELOK¡CIE
BYªY TAKIE SAME K¡TY I BOKI { ISTOTNA JEST ICH KOLEJNO±¢:
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]