filtr1b,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wrocław 15.11.2006
Politechnika Wrocławska, Wydział Elektroniki
Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki
Zakład Teorii Obwodów
dr inż. Zbigniew Świętach
Laboratorium Filtrów Analogowych i Cyfrowych
Ćwiczenie nr 1 - Filtr Butterwortha
Informacje podstawowe
R
g
E
g
(s
)
Filtr L , C
R
0
U
0
(s)
z( s ) ,
ρ(
s)
Rys. 1. Schemat blokowy filtru.
Oznaczenia:
s
=σ+ ω zmienna zespolona
j
E(s) SEM źródła sygnału (generatora)
j
=− jednostka urojona
1
U (s) napięcie na obciążeniu
ω= π pulsacja rzeczywista
2f
R
g
rezystancja wewnętrzna generatora
f częstotliwość
R
0
rezystancja obciążenia
ρ współczynnik odbicia
(s)
z(s) impedancja wejściowa filtru obciążonego we
wrotach wyjściowych rezystancją R
0
Podstawowe zależności:
T(s) 2
= ⋅ ,
R
U(s)
0
(1.1)
RE)
0
g
T(s)
=ω
=ω=ω⋅ ϕω ,
T( j ) H( ) exp j ( )
( )
(1.2)
ρρ−=− − ,
(s) ( s) 1 T(s)T( s)
(1.3)
z(s) 1 (s)
R1()
=
−ρ
,
(1.4)
+ρ
gdzie
T(s) transmitancja filtru,
H( ) T( j )
ω= ω
[V/V] charakterystyka amplitudowa filtru,
( )
ϕω = ω [rad lub deg] charakterystyka fazowa filtru.
R rezystancja normalizująca, R=R
g
lub R=R
0
.
0
g
sj
() argT(j)
Równanie
przedstawia związek pomiędzy współczynnikiem odbicia i transmitancją filtru,
natomiast równanie
podaje związek pomiędzy impedancją wejściową filtru i współczynnikiem
odbicia.
W praktyce stosuje się logarytmiczne charakterystyki tłumieniowe i amplitudowe, określone
poniżej:
A( )
ω=−
20log H( )
10
( )
ω [dB] ,
(1.5)
d
H() A()
ω=− ω [dB] ,
(1.6)
gdzie
A( ω logarytmiczna charakterystyka tłumieniowa,
d
H(ω logarytmiczna charakterystyka amplitudowa.
Transmitancję i współczynnik odbicia filtru najczęściej wyraża się przez wielomiany
charakterystyczne:
T(s)
=
P(s)
, (s)
ρ = .
F(s)
(1.7)
E(s)
E(s)
Wielomiany charakterystyczne F(s), P(s) i E(s) są analitycznie określone dla każdego
standardowego filtru, np. dla filtru Butterwortha.
Filtr Butterwortha
W przypadku, gdy
R= , charakterystyka amplitudowa filtru Butterwortha ma postać:
g
0
H( )
ω=
1
,
(1.8)
2n
1(/ )
+ωω
c
gdzie
ω= ,
n stopień filtru, tutaj równy liczbie pojemności i indukcyjności filtru.
Wielomiany charakterystyczne filtru Butterwortha dane są niżej:
n
ω pulsacja normalizująca, taka, że
H( ) 1/ 2
c
P(s) 1 , F(s) (s / )
=
= ω ,
(1.9)
c
∏
(
)
E(s)
= ω − = ω + ω + + ω +
(s / ) s
(s / ) d (s / )
n
n 1
−
... d (s / ) 1
,
(1.10)
c
k
c
n 1
−
c
1
c
k1
=
gdzie
s exp j
=
−
n1
+
k
, k=1,2,...,n
,
(1.11)
k
2
n
d 1 , d
=
=
cos(
0.5
0.5
π
k / n)
⋅
d , k=0,1,2,...,n-1
,
(1.12)
0
k+1
sin( (k ) / n)
+
1
k
−
= .
W praktyce w miejsce zmiennej „s” stosuje się znormalizowaną zmienną
d
nk
d
k
us=ω . Wielomian
c
postaci
zmiennej
s / lub inaczej zmiennej u s /
ω
c
= ω nazywa się wielomianem
c
R= , stosuje się następujący wzór dla obliczenia
znormalizowanych elementów filtru Butterwortha:
g
0
t
=
2 sin
π−
(2k 1)
, k 1, 2,..., n
=
.
(1.13)
k
2n
Podane niżej wzory denormalizujące służą do wyznaczenia rzeczywistych wartości elementów
filtru:
R R
== = =
ω
R , C
t
k
, L
t R
.
(1.14)
g
0
k
R
k
ω
c
c
n
ponadto
Butterwortha. W przypadku, gdy
k
Przykładowa realizacja filtru Butterwortha pokazana jest na rys. 2.
1 Ω
t
2
t
4
t
n-1
E
g
t
1
t
3
t
n
1 Ω
Rys. 2. Realizacja filtru, n – nieparzyste.
Dla n – parzystego ostatnim elementem jest induktor t
n
w gałęzi szeregowej.
Przykładowe charakterystyki filtru Butterwortha stopnia n=7 pokazano na rys. 3a i 3b.
H (f) [dB]
dB
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
0
(1 kHz, -1 dB)
-10
(1.10 kHz, -3 dB)
-20
-30
(2.95 kHz, -60 dB)
-40
-50
-60
-70
-80
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
f [kHz]
Rys. 3a. Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa filtru Butterwortha stopnia n=7, gdzie
A 1 dB , A 60 dB , f 1 kHz , f 2.95 kHz , f 1.10 kHz
p
=
s
=
p
=
s
=
c
=
.
Oznaczenia:
f
p
częstotliwość graniczna pasma przepustowego
f
s
częstotliwość graniczna pasma zaporowego
f
c
częstotliwość normalizująca
A
p
tłumienie graniczne pasma przepustowego
A
s
tłumienie graniczne pasma zaporowego
φ
(f) [deg]
Charakterystyka fazowa
0
-100
(1 kHz, -274 deg)
-200
(1.10 kHz, -315 deg)
-300
(2.95 kHz, -532 deg)
-400
-500
-600
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
f [kHz]
Rys. 3b. Charakterystyka fazowa filtru Butterwortha stopnia n=7, gdzie
A 1 dB , A 60 dB , f 1 kHz , f 2.95 kHz , f 1.10 kHz
p
=
s
=
p
=
s
=
c
=
.
Przykład realizacji filtru
1 Dane projektowe (gabaryty):
A 1 dB , A 60 dB , f 1 kHz , f 3 kHz , R R
p
=
s
=
p
=
s
=
= = = Ω .
g
R 100
0
2 Wyznaczanie stopnia:
log (10
0.1A
s
−
1) /(10
0.1A
p
−
1)
n
≥
10
,
(1.15)
log (f / f )
10 s
p
n 6.9027 przyjęto n 7 .
≥
=
3 Poprawianie gabarytów:
Jeżeli w wyrażeniu
ustalimy n=7 i znak nierówności zastąpimy równością, wówczas
równanie
jest spełnione dla innych, poprawionych w stosunku do oryginalnych gabarytów.
Zazwyczaj ustala się dowolną trójkę danych projektowych filtru i poszukuje się poprawionego,
czwartego gabarytu. W niniejszym przykładzie poprawiona zostanie częstotliwość f
s
:
f f (10
=
2n
0.1A
s
−
1) / (10
0.1A
p
− ,
1)
(1.16)
s
p
= .
W dalszych obliczeniach należy
zawsze s
tosować poprawione gabaryty filtru.
4 Obliczenie częstotliwości normalizującej:
s
f 2.95 kHz
f
=
ff
sp
,
(1.17)
c
0.1A
0.1A
(10
−
1)(10
−
1)
4n
s
p
c
f 1.10 kHz
=
.
5 Wyznaczenie współczynników i pierwiastków wielomianu Butterwortha ze wzorów
oraz
d d 1 , d d 4.49396 , d d 10.09783 , d d 14.59179 ,
7
== ==
0
6
1
5
==
2
4
==
3
s -0.2225 j 0.9749 , s -0.2225 - j 0.9749 ,
s -0.6235 j 0.7818 , s -0.6235 - j 0.7818 ,
s -0.9010 j 0.4339 , s -0.9010 - j 0.4339 ,
s
1
=
+ ⋅
2
=
⋅
3
=
+ ⋅
4
=
⋅
5
=
+ ⋅
6
=
⋅
=−
6 Obliczenie elementów filtru ze wzorów
i
7
1 .
t t
1
==
7
0.44504 , t
2
==
t 1.24698 , t
6
3
==
t 1.80194 , t
5
4
=
2.00000 .
== µ == == µ =
Wartości pojemności zaokrąglono do 0.01 µF, a wartości indukcyjności zaokrąglono do 0.1 mH.
7 Charakterystyki częstotliwościowe zaprojektowanego filtru zamieszczone na rys. 3a, 3b, zostały
obliczone w Matlabie ver. 5.3 przy wykorzystaniu wielomianów P(s) i E(s).
8 Ostatnim etapem projektu jest wyznaczenie wielomianów P(s) i E(s) poprzez analizę układową
zaprojektowanego filtru (np. metodą potencjałów węzłowych) i ponowne wykreślenie
charakterystyk częstotliwościowych w celu sprawdzenia poprawności projektu, z uwzględnieniem
zastosowanych zaokrągleń. Analiza układu drabinkowego o strukturze danej na rys. 2 jest
stosunkowo prosta. Niech węzeł z potencjałem E
g
ma numer „0”, pozostałe węzły numerujemy
kolejno k=1,2,...,m, przy czym:
C C 0.64 F , L L 18.0 mH , C C 2.60 F , L 28.9 mH .
7
2
6
3
5
4
m
=
+
(n 1) / 2 , n - nieparzyste
+
.
1 n / 2 , n - parzyste
Niech
us=ω będzie zmienną znormalizowaną, wówczas T(s) T(u) 1/ E(u)
c
= = .
=
jest znormalizowaną przez ω
c
oraz R impedancją wejściową filtru obciążonego na wyjściu
jednostkową rezystancją, analogicznie do impedancji z(s) z rys. 1. Wielomiany b(u) i a(u) są
wielomianami odpowiednio licznika i mianownika impedancji z(u). Niech a(0)=1, co wynika z
faktu, że transmitancja T(u)=1 dla u=0 (rezystancje generatora i obciążenia są równe w
zaprojektowanym filtrze). Wykorzystując ponadto zależności
i
ustalamy
następujący związek:
z(u) b(u) / a(u)
E(u) a(u) u
=− .
n
(1.18)
= , k=m, m-1, m-2,..., 1
będzie znormalizowaną impedancją wejściową mierzoną pomiędzy „k” – tym węzłem, a masą,
filtru obciążonego na wyjściu jednostkową rezystancją, przy czym kondensator, włączony
pomiędzy „k” – tym węzłem, a masę jest częścią impedancji z
k
. Oczywiście z(u)=z
1
(u) oraz
b(u)=b
1
(u), a(u)=a
1
(u). Jeżeli znana jest impedancja z
k+1
, w prosty sposób można wyznaczyć
impedancję z
k
:
z(u) b(u)/a(u)
k
k
k
z(u)
=
1
=
u t a (u) b (u)
⋅ ⋅ +
2k k1
+
k1
+
,
k
1
ut ut a(u)b(u) a(u)
⋅ ⋅ ⋅ +
(
)
+
⋅ +
⋅ +
2k 1
−
2k
k 1
k 1
k 1
2k 1
−
ut z (u)
2k
k 1
+
gdzie
u⋅ jest znormalizowaną impedancją induktora włączonego pomiędzy węzły „k” i „k+1”,
2k
ut ⋅ jest znormalizowaną admitancją kondensatora włączonego pomiędzy węzeł „k” i masę.
Związek rekurencyjny służący do wyznaczenia impedancji z(u) wydaje się oczywisty:
2k 1
b u t a
=⋅ ⋅ + =⋅ ⋅ + = − − ,
2k
k 1
+
b , a
k 1
+
k
u t
2k 1
b a , k m 1, m 2,...,1
k
k 1
+
(1.19)
przy czym
1
Impedancja
Niech
ut
+
+
+
k
−
[ Pobierz całość w formacie PDF ]